martes, 10 de marzo de 2009
Funcion, Relacion, Rango, Dominio y Contradominio
En Matemáticas, dados dos conjuntos X e Y, una función o aplicación de X en Y es una correspondencia matemática denotada
que cumple con las siguientes dos condiciones:
Condición de existencia: Todos los elementos de X están relacionado con elementos de Y, es decir,
Condición de unicidad: Cada elemento de X esta relacionado con un único elemento de Y, es decir, si
Una función es un caso particular de relación y de correspondencia matemática. Cada relación o correspondencia de un elemento con un (y sólo un) se denota , en lugar de
Dominio El dominio de es el conjunto de existencia de la misma, es decir, los elementos para los cuales la función está definida. Es el conjunto de todos los objetos que puede transformar, se denota o bien y está definido por:
Recorrido o codominio El recorrido o conjunto de llegada de es el conjunto y se denota o bien
Rango El rango de está formada por los valores que alcanza la misma. Es el conjunto de todos los objetos transformados, se denota o bien y está definida por:
Ejemplos
La función definida por , tiene como dominio e imagen todos los números reales
Función con Dominio X y Codominio YPara la función , en cambio, si bien su dominio es , sólo tendrá como imagen los valores comprendidos entre 0 y +∞ que sean el cuadrado de un número real.
En la figura se puede apreciar una función , con
Note que a cada elemento de X le corresponde un único elemento de Y. Además, el elemento a de Y no tiene origen, y el elemento b tiene dos (el 1 y el 4). Finalmente,
Esta función representada como relación, queda: La función definida por , tiene como dominio e imagen todos los números reales
Función con Dominio X y Codominio YPara la función , en cambio, si bien su dominio es , sólo tendrá como imagen los valores comprendidos entre 0 y +∞ que sean el cuadrado de un número real.
En la figura se puede apreciar una función , con
Note que a cada elemento de X le corresponde un único elemento de Y. Además, el elemento a de Y no tiene origen, y el elemento b tiene dos (el 1 y el 4). Finalmente,
Esta función representada como relación, queda: La función definida por , tiene como dominio e imagen todos los números reales
Función con Dominio X y Codominio YPara la función , en cambio, si bien su dominio es , sólo tendrá como imagen los valores comprendidos entre 0 y +∞ que sean el cuadrado de un número real.
En la figura se puede apreciar una función , con
Note que a cada elemento de X le corresponde un único elemento de Y. Además, el elemento a de Y no tiene origen, y el elemento b tiene dos (el 1 y el 4). Finalmente,
Esta función representada como relación, queda:
Regla de los 4 pasos
En geometría, la derivada de una función en un punto representa el valor de la pendiente de la recta tangente en dicho punto. La pendiente está dada por la tangente del ángulo que forma la recta tangente a la curva (función) con el eje de las abcisas, en ese punto.
El incremento Dx de una variable x es el aumento o disminución que experimenta, desde un valor x = x0 a otro x = x1 de su campo de variación. Así, pues,
Si se da un incremento Dx a la variable x será a partir del valor y = f (x0).
El cociente recibe el nombre de cociente medio de incrementos de la función.
La regla de los cuatro pasos para dar incrementos a “x” y a “y” es el siguiente:
1. Dar incrementos a “x” y a “y”
2. Restar la función Original
3. Dividir entre ∆x.
4. Calcular el límite cuando lim ∆x->0 ∆x / ∆y
lunes, 9 de marzo de 2009
Cálculo de Límites por Racionalización del Numerador o Denominador
Para esto tenemos lo siguiente:
domingo, 8 de marzo de 2009
3jErc¡¡c!!oOoOssSss
Bueno pues creo que ya todos pusieron todos los temas que vimos.... eso me pasa por dejar esto al último pero como no se que poner pues pondré unos ejercicios de algunos temas vale...........
NOTACIÓN Y EVALUACIÓN DE FUNCIONES
*f(x)=x2 + 4x + 7 Encontrar: f(3a) f(b-1)
*f(x)= x2 + 2x Encontrar: f(a+h), f(a)
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
*f(x)= x2 - 3 g(x)=x - 5
*f(x)= 3x2 + 2 g(x)= x + 1
LIMITES
*lim (4-3x) =
x } -8
*lim (x3 - 3x2 + 5x - 1) =
x } 2
*lim x-3
-------- =
2x+1
x } 3
*lim x3+4x2 -11x-30
------------------- =
x-3
x } 3
DERIVADA POR LA REGLA DE CUATRO PASOS
* Encontrar las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva:
y= 1
-----
x-2
y= 1
-----
x
y= x3 - 3
~EjErCiCiOs De CoMpOsIcIoN dE fUnCiOnEs~
Bueno pues aqui les dejo algunos ejercicios acerca de la composición de funciones, para que se entretengan en algo...veran que estan faciles; y si no pueden resolverlos...¬¬ es que en verdad no saben nada acerca de calculos...; es eso o...que los copie mal jeje...;P Bueno Sayonara!
1) (g o f )
f(x)=3
g(x)=4
2) (g o g)
g(x)=4x
f(x)=4x
3) (f o f)
f(x)=3x2+1
4) Saca las diferentes formulas:
--(f o g)
--(f o f) f(x)=3x2+2
--(g o f) g(x)=x+1
--(g o g)
5) Saca las diferentes formulas:
--(f o g)
--(f o f) f(x)=x-3
--(g o f) g(x)=x2-5
--(g o g)
NaMi= StEpHaNiE rOdRiGuEz AcUaUtLa
LIMITES CON FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
sen x- csc x =1
cos x-secx=1
tan x-cotx=1
Identidades de cocientes
tan x= sen x
cos x
cot x= cos x
sen x
Identidades Pitagóricas
sen2 x + cos2 x=1
sec2 x= 1 + tan2 x
csc2 x =1+ cot2x
LIMITES TRIGONOMÉTRICOS ESPECIALES
lim sen x= 0
x>0
lim= cos x = 1
x>0
lim 1 = 1
x>0
lim senx= 1
x>0 x
lim 1 = 1
x>0 cosx
lim cos x= 1
x>0 x
funcion continua
Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).
Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.
LIMITES QUE TIENDEN A INFINITO!!!!! ∞
En este tipo de limites al sustituir el infinito, nos daremos cuenta de que es un error matematicoo indeterminaciòn, como veremos en el siguiente ejemplo:
Es por eso que en èste tipo de limites se usan dos especiales:
De esta manera lo que vamos a hacer es lo siguiente:
- Factorizamos los limites
- Una vez hecho el paso anterior, sustituimos el valor infinito en las literales "x"
EJEMPLO 1 :
EJEMPLO 2:
Con esto concluyo el tema, si tienes cualquier duda, no dudes en dejar tus comentarios, esperamos poder ayudarte.....
Publicado por: EDEN ROBERTO PÉREZ ESPINOSA.................4IV1
sábado, 7 de marzo de 2009
Límites con funciones trigonométricas.
Podemos decir lo siguiente: si a es un número real que sea el elemento de la función trigonométrica indicaba; entonces:
- lím sen x = sen a
- lím cos x = cos a
- lím tan x = tan a
- lím cot x = cot a
- lím sec x = sec a
- lím csc x = csc a
En este caso x sera igual a la letra a
REGLA DE LA LÍNEA VERTICAL
Si la línea pasa por dos puntos es una relación, y si solo pasa por un punto es una función.
Relación. Función.
Parábola que abre hacia la derecha, que se Parábola que abre hacia arriba, se
encuentra fuera del origen. encuentra fuera del origen.
LIMITES TRIGONOMÉTRICOS ESPECIALES
Lim Sen X =0
X 0
Lim Cos x=1
X 0
Lim =1
X 0
Lim =1
X 0
Lim =1
X 0
Lim 1=1
X 0
Funciones trigonométricas de ángulo doble
Sen 2x= (2 Sen x)(Cos x)
Cos 2x= 2 -1
Tan 2x=
FORMAS INDETERMINADASDEL TIPO INFINITO /INFINITO.
Pues las fracciones del numerador y denominador tiene limite cero cuando x tiende infinito
DERIVACION POR FORMULAS
La derivada de una función mide el coeficiente de variación de dicha función. Es decir, provee una formulación matemática de la noción del coeficiente de cambio. El coeficiente de cambio indica lo rápido que crece (o decrece) una función en un punto (razón de cambio promedio) respecto del eje de un plano cartesiano de dos dimensiones. Por ejemplo si tomamos la velocidad de algo, su coeficiente es la aceleración, la cual mide cuánto cambia la velocidad en un tiempo dado.
Existen algunas formulas para resolver la derivada de una función algunos ejemplos son los siguientes:
Formulas de Derivación
I dc = 0
dx La derivada de una constante es cero
II dx = 1
dx La derivada de una variable con respecto a si misma es la unidad.
III d ( u + v – w ) = du + dv - dw
dx dx dx dx La derivada de la suma algebraica de un numero finito n de funciones es igual a la suma algebraica de las derivadas de las funciones
IV d ( cv ) =c. dv
dx dx La derivada del producto de una constante por una funcion es igual al producto de la constante por la derivada de la funcion
V d (uv) = u dv + v du
dx dx dx La derivada de un producto de dos funciones es igual al producto de la primera funcion por la derivada de la segunda, mas el producto de la segunda por la derivada de la primera.
VI d (vn) = nvn-1 dv
dx dx La derivada de la potencia de una funcion de exponente constante es igual al producto del exponente por la funcion elevada a un exponente disminuido en una unidad y por la derivada de la funcion.
VIa d (xn ) = nxn - 1
dx Cuando v = x se convierte en la expresion anterior
VII d ( u ) = v.du - u.dv
dx v dx dx .
v2 La derivada de un cociente de funciones es igual al producto del denominador por la derivada del numerador, menos el producto del numerador por la derivada del denominador, todo dividido por el cuadrado del denominador
VIIa d ( u ) = du
dx c dx .
c La derivada del cociente de una funcion dividida por una constante es igual a la derivada de la funcion dividida por la constante
Por el momento hemos visto algunos ejemplos de lo que es la derivación por formulas:
Utilizando la función:
3 2
d 4x - x + 5x – 1
dx
Se pueden aplicar varias formulas para su resolucion:
3 2 3 2
d 4x - x + 5x – 1 = d 4x - d x + d 5x – d 1 =
dx dx dx dx dx
3 1
= 4 d x - 2x d x + 5 d x
dx dx dx
3-1
= 4 ( 3x d x ) – 2x + 5
dx
2
Quedando como resultado: 12x - 2x + 5
MARTINEZ ZAMORA MIGUEL ANGEL
OPERACIONES CON FUNCIONES
Se dice que dos funciones f y g son iguales si tienen la misma regla de correspondencia y están definidas en el mismo dominio con mapeo en el mismo contradominio.
ADICIÓN
Se define como suma de las funciones f y g a la función denotada con f + g con dominio
D = Df Dg tal que:
(f+g) (x) = f(x) + g(x)
Esto es, el valor de f + g en x D, es igual a la suma de los valores de f y g.
SUSTRACCIÓN
Se llama diferencia de la función f menos la función g y se denota por f – g a la función dada por:
(f – g) (x) = f(x) – g(x)
MULTIPLICACIÓN
EL producto de las funciones f y g es la función con dominio, denotada como fg y dada por:
(fg) (x) = f(x) g(x); x Є D
DIVISIÓN
Se llama cociente de la función f entre la función g a la función f/g tal que:
(f/g) (x) = f(x) / g(x)
De las definiciones de suma y producto de dos funciones se tiene que:
La suma de n funciones reales de variable real: f1 + f2 +…+ fn es una función real.
El producto de n funciones reales de variable real: f1f2 … fn es una función real.
Si se suma n veces una misma función f, se tiene:
f + f + …. +f = nf ; (n sumados)
Si se multiplica n veces por si misma la función f resulta:
f۰f۰ …۰ f = fn ; (n factores)
Gráfica de Funciones y relaciones
g(x)=4x
OBTENER:
(f○g) (x)=f(g(x)) =f(4x)=3(4x)2+1=48x2+1
(g○f)(x)=g(f(x))= g(3x2+1)=4(3x2+1)=12x2+4
(g○g)(x)=g(g(x))=g(4x)=4(4x)=16x
(f○f)(x)=f(f(x))=f(3x2+1)=3(3x2+1)2+1=27x4+18x2+3+1=27x4+18x2+4
2) f(x)=x-3
g(x)=x2-5
(f○g) (x)=f(g(x)) =f(x2-5)=x2-5-3= x2-8
(g○f)(x)=g(f(x))= g(x-3)=(x-3)2-5=x2-6x+9-5=x2-6x+4
(g○g)(x)=g(g(x))=g(x2-5)=(x2-5)2-5=x4-10x2+25-5=x4-10x2+20
(f○f)(x)=f(f(x))=f(x-3)=x-3-3= x-6
viernes, 6 de marzo de 2009
funcion
1. un conjunto a llamado dominio de la funcion
2. otro conjunto b llamado contradominio de la funcion
3. una regla de correspondencia (f) que asocia a todo elemento de a, con uno y solo un elemento de b
propiedades
1.-ningun elemento del dominio puede quedar sin ser asociado en el contradominio .
2.-ningun elemento del dominio puede tener mas de un asociado en el contradominio
esto no escluye que varios elementos del dominio tengan al mismo asociado en el contradominio
Dominio
Se le llama dominio de la relacion al conjunto de las primeras ordenadas que pertenecen A por B
Contradominio
es el conjunto de las segundas ordenadas que pertenecen a la relacion a por b
DERIVADA: REGLA DE LOS CUATRO PASOS
EJEMPLO:
f( x) = x²
y = x²
lim ∆ x - 0
- PRIMER REGLA:
Dar incrementos a "x" y "y"
- SEGUNDA REGLA:
Restar la funcio original
nota: (x + ∆x)² es un binomio al cuadrado por lo tanto se tendra que desarrollar
- TERCER REGLA:
- CUARTA REGLA:
lim ∆ x - 0
2x + ∆ x = 2x + 0 = 2 x
Regla de los cuatro pasos
2) Restar la funcion original
3) dividir entre dx
4) calcular el limite cuando lim. dx =dy
dx-0 dx
y= __ derivada
/x
1) y+dy=_____
/ x+dx
2) y+dy=_____
/x+dx
- y =___
/ x
____________
dy= _____ _____
/x+dx - / x
____ ___ _____ __
3)dy=/x+dx - / x ( /x+dx + /x ) = x+dx-x
dx dx _____ __ ___ __
(/x+dx + /x ) dx ( /x+dx + /x )
=___dx______
____ ___
dx/x+dx +/ x
4)lim.____1____= ___1_____=_____1___= ____1__
____ __ ___ __ __ __ ____
dx-0 /x+dx +/x /x+0 + /x /x + /x 2/ x
INTERVALOS
Geométricamente el intervalo abierto (a, b) queda representado por el conjunto de todos los puntos de un eje numérico x comprendidos entre los puntos que representan a los extremos a y b, como:
Gráficas de funciones
Admisibles de x se les llama dominio de la función y al conjunto de todos los valores resultantes de y se les llama ámbito de la función.
La grafica de una función f es el conjunto de todos los puntos(x, Y) ubicados en el plano R2 para el cual ( x, ubicados en el plano R2 para el cual ( x,y) es una pareja ordenada en f.
Saenz Esquivel Jessica Nayeli
DERIVACION
INCREMENTOS. El incremento de una variable que pasa de un valor numerico a otro es la diferencia que se obtiene restando el valor inicial del valor final. un ncremento de x se presenta por el simbolo dx que se lee delta de x.
es evidente que el incremento puede ser negativo puede ser positivo o negativo, que la variable aumente o disminuya al cambiar de valor.
asimismo,
dy significa incremento de y
dx significa incremento de x
si en y= f(x) la variable independiente x toma toma un incremento correspondiente de la función f(x) (osea, de la variable dependiente y).
el incremento de dy siempre ha de contarse desde el valor inicial definido de y, que corresponde al valor inicial definido de y, que corresponde al valor inicial arbitrariamente fijado de x desde el cual, se cuenta el incremento dx. por ejemplo consideremos la función
y=x"
si tomamos x=10 como valor inicial de x, esto se fija y=100 como valor inicial de y.
supongamos que que x aumenta hasta x =12, es decir, dx = 2;
entonces y aumenta hasta y =144 y dy = 44.
si se supone que x decrece hasta x =9, es decir , dx= -1
entonces y decrece hasta y=81, y dy =-19
en este ejemplo, y aumenta cuando x aumenta, y "y" decrece cuando x decrece. los valores correspondientes de dx y dy tienen un mismo signo. puede acntecer q y decresca cuando x aumenta, o viceversa; dx y dy tendran entonces signos contrarios.
angel arturo garcia hernandez
Límite de funciones Cálculo
Sean dos funciones f(x) y g(x), para las que existe límite en un punto o en el infinito. Entonces:
En general calcular el límite de una función "normal", cuando x tiende a un número real, es fácil, basta aplicar las reglas de cálculo indicadas, sustituyendo la variable independiente por el valor real al que la x tiende. No obstante, en ocasiones, nos podemos encontrar con sorpresas, por ejemplo, que la función no esté definida para el valor en el que queremos calcular el límite . Esta situación, es habitual, cuando el límite lo queremos calcular cuando x tiende a infinito. Una función no está definida en un punto, siempre que al intentar calcularla en ese punto, resulte alguna de las formas siguientes:
En cada caso, el límite en el punto en que la función no está determinada, dependerá de los valores que la función tome, en las proximidades de dicho punto. Veamos como tratar cada una de estas indeterminaciones. Los métodos que se indican sirven de guía en casos parecidos.
La función no está determinada para x = 1, la razón es que el denominador se hace 0. Este tipo de indeterminaciones ocurre, cuando en el numerador y el denominador de la función, existe algún factor que se hace 0, este factor suele ser del tipo: x - valor para el que queremos calcular el límite. Si logramos eliminar, este factor del numerador y del denominador, se obtiene otra función , que toma los mismos valores en todos los puntos que no sean el punto en cuestión. En este caso concreto, el punto es: x = 1. La nueva función permite obtener los valores en las proximidades del punto de la indeterminación, que son los que permiten calcular el límite. En el caso concreto que nos ocupa, sería:
JUAN ANTONIO SOLIS LOPEZ
jueves, 5 de marzo de 2009
Limites
Limite es la frontera que existe para una función
FUNCION CONTINUA
Es aquella que puede ser trazada de forma interrumpida, no presenta huecos, saltos o perturbaciones que interrumpan su trazo.
FUNCIONES DISCRETAS O DESCONTINUAS
Son aquellas cuyas graficas presentan interrupciones o extra saltos entre sus trazos
C= constante de todos los números
Lim 12=12
x 1
si no hay x es igual al mismo numero
miércoles, 4 de marzo de 2009
Notación y evaluación de funciones. Composición de funciones
f (x)=x² + 4x + 7
Encontrar: f(3a), f(b - 1)
f (3a)= (3a)² + 4(3a) +7= 9a² + 12a + 7
f(b - 1)= (b - 1)² + 4(b – 1) + 7=b² - 2b + 1 + 4b – 4 + 7=b² + 2b + 4
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Es una operación de funciones que consiste en aplicar sucesivamente 2 funciones en un orden determinado con lo cual se obtiene una tercera función.
La composición de funciones se denota como:
(f o g) (x)
se lee:
f composición con g
Conceptos básicos
Definición: Sea A y B dos conjuntos dados.
Cuando a todos a para algunos de los elementos de un conjunto A les corresponde, vincularlos por alguna condición o propiedad uno o más elementos del conjunto B.
Función
Definición: Si tenemos dos conjuntos A y B y una regla que asocia A todo elemento del conjunto A, con uno y solo uno del conjunto B, se dice que ase tiene una f definida en A, con valores en B.
Una función consta de 3 cosas:
1. Un conjunto A llamado DOMINIO
2. Otro conjunto B llamado CONTRADOMINIO.
3. Una regla de correspondencia f que asocia a todo elemento de A con un elemento de B.
La regla puede ser un diagrama, una ecuación, una tabla de valores o una gráfica y debe tener las propiedades siguientes:
* Ningún elemento del dominio puede quedar sin ser asociado con un contradominio.
* Ningún elemento del dominio puede tener más de un asociado en el contradominio. Esto no excluye que varios elementos del dominio tengan al mismo asociado en el contradominio.
Dominio:
Se llama dominio de la relación al conjunto de las primeras ordenadas que pertenecen A x B
Contradominio:
Es el conjunto de las segundas ordenadas que pertenecen a la relación A x B.
Ríos Parra Andrea