PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN CON DERIVADAS

1. Pendientes de las rectas tangente y normal

2. Rápidez de cambio

3. Velocidad y aceleración

4. Optimización

Ejemplo:

La población de cierta ciudad, en miles de habitantes dentro de t años se calcula por la expresión:

Calcula la rápidez con que estará creciendo la población dentro de 2 años.

Laura Samano Samano

Ríos Parra Andrea

Funcion, Relacion, Rango, Dominio y Contradominio

Función matemática

En Matemáticas, dados dos conjuntos X e Y, una función o aplicación de X en Y es una correspondencia matemática denotada


que cumple con las siguientes dos condiciones:

Condición de existencia: Todos los elementos de X están relacionado con elementos de Y, es decir,
Condición de unicidad: Cada elemento de X esta relacionado con un único elemento de Y, es decir, si
Una función es un caso particular de relación y de correspondencia matemática. Cada relación o correspondencia de un elemento con un (y sólo un) se denota , en lugar de

Dominio El dominio de es el conjunto de existencia de la misma, es decir, los elementos para los cuales la función está definida. Es el conjunto de todos los objetos que puede transformar, se denota o bien y está definido por:



Recorrido o codominio El recorrido o conjunto de llegada de es el conjunto y se denota o bien


Rango El rango de está formada por los valores que alcanza la misma. Es el conjunto de todos los objetos transformados, se denota o bien y está definida por:

Ejemplos

La función definida por , tiene como dominio e imagen todos los números reales

Función con Dominio X y Codominio YPara la función , en cambio, si bien su dominio es , sólo tendrá como imagen los valores comprendidos entre 0 y +∞ que sean el cuadrado de un número real.
En la figura se puede apreciar una función , con


Note que a cada elemento de X le corresponde un único elemento de Y. Además, el elemento a de Y no tiene origen, y el elemento b tiene dos (el 1 y el 4). Finalmente,

Esta función representada como relación, queda: La función definida por , tiene como dominio e imagen todos los números reales

Función con Dominio X y Codominio YPara la función , en cambio, si bien su dominio es , sólo tendrá como imagen los valores comprendidos entre 0 y +∞ que sean el cuadrado de un número real.
En la figura se puede apreciar una función , con


Note que a cada elemento de X le corresponde un único elemento de Y. Además, el elemento a de Y no tiene origen, y el elemento b tiene dos (el 1 y el 4). Finalmente,

Esta función representada como relación, queda: La función definida por , tiene como dominio e imagen todos los números reales

Función con Dominio X y Codominio YPara la función , en cambio, si bien su dominio es , sólo tendrá como imagen los valores comprendidos entre 0 y +∞ que sean el cuadrado de un número real.
En la figura se puede apreciar una función , con


Note que a cada elemento de X le corresponde un único elemento de Y. Además, el elemento a de Y no tiene origen, y el elemento b tiene dos (el 1 y el 4). Finalmente,

Esta función representada como relación, queda:

Regla de los 4 pasos

Derivada (Regla de los cuatro pasos)

En geometría, la derivada de una función en un punto representa el valor de la pendiente de la recta tangente en dicho punto. La pendiente está dada por la tangente del ángulo que forma la recta tangente a la curva (función) con el eje de las abcisas, en ese punto.
El incremento Dx de una variable x es el aumento o disminución que experimenta, desde un valor x = x0 a otro x = x1 de su campo de variación. Así, pues,
Si se da un incremento Dx a la variable x será a partir del valor y = f (x0).

El cociente recibe el nombre de cociente medio de incrementos de la función.
La regla de los cuatro pasos para dar incrementos a “x” y a “y” es el siguiente:
1. Dar incrementos a “x” y a “y”
2. Restar la función Original
3. Dividir entre ∆x.
4. Calcular el límite cuando lim ∆x->0 ∆x / ∆y

Ruíz Sánchez Jesica Berenice.

Cálculo de Límites por Racionalización del Numerador o Denominador

Racionalizar una fracción consiste en conseguir que su denominador sea racional y , podemos considerarlo como un proceso de simplificación.
Para esto tenemos lo siguiente:

Ejemplo:

Como al evaluar el numerador y el denominador se obtiene cero en ambos, procedemos a racionalizar el denominador de la forma siguiente:

en este último límite no hay ningún problema y aplicando los teoremas respectivos se obtiene como resultado

DETERMINAR:

Mendoza Albor Jesús Michel

3jErc¡¡c!!oOoOssSss

Bueno pues creo que ya todos pusieron todos los temas que vimos.... eso me pasa por dejar esto al último pero como no se que poner pues pondré unos ejercicios de algunos temas vale...........

NOTACIÓN Y EVALUACIÓN DE FUNCIONES

*f(x)=x2 + 4x + 7 Encontrar: f(3a) f(b-1)

*f(x)= x2 + 2x Encontrar: f(a+h), f(a)

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

*f(x)= x2 - 3 g(x)=x - 5

*f(x)= 3x2 + 2 g(x)= x + 1

LIMITES

*lim (4-3x) =
x } -8

*lim (x3 - 3x2 + 5x - 1) =
x } 2

*lim x-3
-------- =
2x+1
x } 3

*lim x3+4x2 -11x-30
------------------- =
x-3
x } 3

DERIVADA POR LA REGLA DE CUATRO PASOS

* Encontrar las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva:

y= 1
-----
x-2

y= 1
-----
x

y= x3 - 3

~EjErCiCiOs De CoMpOsIcIoN dE fUnCiOnEs~

Bueno pues aqui les dejo algunos ejercicios acerca de la composición de funciones, para que se entretengan en algo...veran que estan faciles; y si no pueden resolverlos...¬¬ es que en verdad no saben nada acerca de calculos...; es eso o...que los copie mal jeje...;P Bueno Sayonara!

---

1) (g o f )
f(x)=3
g(x)=4

---

2) (g o g)
g(x)=4x
f(x)=4x

---

3) (f o f)
f(x)=3x2+1

---

4) Saca las diferentes formulas:
--(f o g)
--(f o f) f(x)=3x2+2
--(g o f) g(x)=x+1
--(g o g)

---

5) Saca las diferentes formulas:
--(f o g)
--(f o f) f(x)=x-3
--(g o f) g(x)=x2-5
--(g o g)

NaMi= StEpHaNiE rOdRiGuEz AcUaUtLa

LIMITES CON FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Identidades Recíprocas

sen x- csc x =1
cos x-secx=1
tan x-cotx=1

Identidades de cocientes

tan x= sen x
cos x

cot x= cos x
sen x

Identidades Pitagóricas

sen2 x + cos2 x=1
sec2 x= 1 + tan2 x
csc2 x =1+ cot2x

LIMITES TRIGONOMÉTRICOS ESPECIALES

lim sen x= 0
x>0
lim= cos x = 1
x>0
lim 1 = 1
x>0

lim senx= 1
x>0 x

lim 1 = 1
x>0 cosx

lim cos x= 1
x>0 x

funcion continua

Una función que no es continua en un número, se dice que es discontinua en dicho número. En la gráfica de una función que es discontinua en el número a se puede observar un "salto" o un "hueco" precisamente donde x = a. La discontinuidad puede ser eliminable o esencial.
Las discontinuidades eliminables se denominan también discontinuidad de "hueco": en la gráfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en el punto del plano cuyas coordenadas son (a, f (a)).
Las discontinuidades esenciales también reciben los nombres de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los límites unilaterales existen pero son diferentes; y, la discontinuidad infinita sucede cuando el límite de f cuando x tiende a a es infinito.

LIMITES QUE TIENDEN A INFINITO!!!!! ∞

HOLA BIENVENIDOS NAKOS Y NAKAS, FINOS Y FINAS, antes de leer este post, tienes que saber que si eres fino, pues no le vas a entender barrio, porque esto es una patada en los huev....... pero no se preocupen, gracias a las enseñanzas de la maestra y lo que hemos aprendido, trataremos de explicar los temas de manera fácil y sencilla, asi que empezemos.....

LIMITES QUE TIENDEN A INFINITO:

En este tipo de limites al sustituir el infinito, nos daremos cuenta de que es un error matematicoo indeterminaciòn, como veremos en el siguiente ejemplo:

Es por eso que en èste tipo de limites se usan dos especiales:

De esta manera lo que vamos a hacer es lo siguiente:

• Factorizamos los limites



• Una vez hecho el paso anterior, sustituimos el valor infinito en las literales "x"
  

EJEMPLO 1 :

EJEMPLO 2:

Con esto concluyo el tema, si tienes cualquier duda, no dudes en dejar tus comentarios, esperamos poder ayudarte.....

Publicado por: EDEN ROBERTO PÉREZ ESPINOSA.................4IV1

Límites con funciones trigonométricas.

Al igual que los límites de las funciones algebraicas, los de las funciones trigonométricas se pueden calcular por sustitución directa.
Podemos decir lo siguiente: si a es un número real que sea el elemento de la función trigonométrica indicaba; entonces:

1. lím sen x = sen a
2. lím cos x = cos a
3. lím tan x = tan a
4. lím cot x = cot a
5. lím sec x = sec a
6. lím csc x = csc a

En este caso x sera igual a la letra a

REGLA DE LA LÍNEA VERTICAL

Para determinar si una parábola es una función o una relación,, se corta con una línea vertical, casi llegando al centro de la parábola.

Si la línea pasa por dos puntos es una relación, y si solo pasa por un punto es una función.

Relación. Función.

Parábola que abre hacia la derecha, que se Parábola que abre hacia arriba, se
encuentra fuera del origen. encuentra fuera del origen.

Romo Gálvez María Elena

LIMITES TRIGONOMÉTRICOS ESPECIALES

LIMITES TRIGONOMÉTRICOS ESPECIALES
Lim Sen X =0
X 0

Lim Cos x=1
X 0

Lim =1
X 0

Lim =1
X 0

Lim =1
X 0

Lim 1=1
X 0

Funciones trigonométricas de ángulo doble

Sen 2x= (2 Sen x)(Cos x)

Cos 2x= 2 -1

Tan 2x=

Ruiz Ángeles Ilse Gabriela

FORMAS INDETERMINADASDEL TIPO INFINITO /INFINITO.

Estas expresiones se obtienen al hacer que x tienda a infinito:

1.-si el numerador tiende a infinito y el denominador tiene limite, la fraccion tiende a infinito.

2.-Si el numerador tiene limite y el denominador tiende a infinito la fraccion tiende a cero.

Si el numerador y denominadortiendea infinito se dividen ambos terminospor la maxima potencia de x que entra en la fraccion. Si los grados del numerador y denominador son iguales la fraccion tiene limite distinto de 0.

Dividiendo numerador y denominador entre X2(cuadrada), que es la maxima potencia de x, resulta:

Pues las fracciones del numerador y denominador tiene limite cero cuando x tiende infinito

Bibliografia:

CALCULO DIFERENCIA INTEGRAL

SANTALO-CARBONELL

TEXTOS UNIVERSITARIOS S.A.

FLORES SANCHEZ GEORGINA ANALI

DERIVACION POR FORMULAS

En geometría, la derivada de una función en un punto representa el valor de la pendiente de la recta tangente en dicho punto. La pendiente está dada por la tangente del ángulo que forma la recta tangente a la curva (función) con el eje de las abcisas, en ese punto.
La derivada de una función mide el coeficiente de variación de dicha función. Es decir, provee una formulación matemática de la noción del coeficiente de cambio. El coeficiente de cambio indica lo rápido que crece (o decrece) una función en un punto (razón de cambio promedio) respecto del eje de un plano cartesiano de dos dimensiones. Por ejemplo si tomamos la velocidad de algo, su coeficiente es la aceleración, la cual mide cuánto cambia la velocidad en un tiempo dado.
Existen algunas formulas para resolver la derivada de una función algunos ejemplos son los siguientes:

Formulas de Derivación

I dc = 0
dx La derivada de una constante es cero

II dx = 1
dx La derivada de una variable con respecto a si misma es la unidad.

III d ( u + v – w ) = du + dv - dw
dx dx dx dx La derivada de la suma algebraica de un numero finito n de funciones es igual a la suma algebraica de las derivadas de las funciones

IV d ( cv ) =c. dv
dx dx La derivada del producto de una constante por una funcion es igual al producto de la constante por la derivada de la funcion

V d (uv) = u dv + v du
dx dx dx La derivada de un producto de dos funciones es igual al producto de la primera funcion por la derivada de la segunda, mas el producto de la segunda por la derivada de la primera.

VI d (vn) = nvn-1 dv
dx dx La derivada de la potencia de una funcion de exponente constante es igual al producto del exponente por la funcion elevada a un exponente disminuido en una unidad y por la derivada de la funcion.

VIa d (xn ) = nxn - 1
dx Cuando v = x se convierte en la expresion anterior

VII d ( u ) = v.du - u.dv
dx v dx dx .
v2 La derivada de un cociente de funciones es igual al producto del denominador por la derivada del numerador, menos el producto del numerador por la derivada del denominador, todo dividido por el cuadrado del denominador

VIIa d ( u ) = du
dx c dx .
c La derivada del cociente de una funcion dividida por una constante es igual a la derivada de la funcion dividida por la constante

Por el momento hemos visto algunos ejemplos de lo que es la derivación por formulas:

Utilizando la función:

3 2
d 4x - x + 5x – 1
dx

Se pueden aplicar varias formulas para su resolucion:

3 2 3 2
d 4x - x + 5x – 1 = d 4x - d x + d 5x – d 1 =
dx dx dx dx dx

3 1
= 4 d x - 2x d x + 5 d x
dx dx dx

3-1
= 4 ( 3x d x ) – 2x + 5
dx
2
Quedando como resultado: 12x - 2x + 5

MARTINEZ ZAMORA MIGUEL ANGEL

OPERACIONES CON FUNCIONES

IGUALDAD

Se dice que dos funciones f y g son iguales si tienen la misma regla de correspondencia y están definidas en el mismo dominio con mapeo en el mismo contradominio.

ADICIÓN

Se define como suma de las funciones f y g a la función denotada con f + g con dominio
D = Df Dg tal que:

(f+g) (x) = f(x) + g(x)

Esto es, el valor de f + g en x D, es igual a la suma de los valores de f y g.

SUSTRACCIÓN

Se llama diferencia de la función f menos la función g y se denota por f – g a la función dada por:

(f – g) (x) = f(x) – g(x)

MULTIPLICACIÓN

EL producto de las funciones f y g es la función con dominio, denotada como fg y dada por:

(fg) (x) = f(x) g(x); x Є D

DIVISIÓN

Se llama cociente de la función f entre la función g a la función f/g tal que:

(f/g) (x) = f(x) / g(x)


De las definiciones de suma y producto de dos funciones se tiene que:

La suma de n funciones reales de variable real: f1 + f2 +…+ fn es una función real.

El producto de n funciones reales de variable real: f1f2 … fn es una función real.

Si se suma n veces una misma función f, se tiene:

f + f + …. +f = nf ; (n sumados)

Si se multiplica n veces por si misma la función f resulta:

f۰f۰ …۰ f = fn ; (n factores)

Castro Villaseñor Lorena

Gráfica de Funciones y relaciones

Hola a todos los visitantes del Blog!

En ésta entrada hableremos de uno de los temas mas sencillos

del curso de Cálculo Diferencial, es decir, el tema de: Gráfica funciones

y relaciones.

Cuando tenemos una gráfica, y deseamos conocer si el problema que tenemos

en frente es una función, o una relación, debemos hacer lo siguiente:

Trazar una línea recta vertical (mas o menos a la mitad de la figura), si ésta:

1. Pasa por un punto a la gráfica, entonces representará una función.

2. Pasa por más de un punto a la gráfica, entonces representa una relación.

Como podemos ver, este es de los temas mas sencillos, pero, para evitar dudas pongamos un par de ejemplos:

Por ejemplo en el caso de esta gráfica, que es una circunferencia, si trazaramos una línea recta a la mitad, esa línea tocaría 2 puntos, entonces, estaríamos hablando de que ésta gráfica nos representa una relación

En este Otro Caso vemos que si trazamos una línea vertical a la mitad de la figura, ésta, entonces, sólo pasará por un punto, indicandonos que ésta gráfica representa una función

¿entonces ha quedado claro el tema? espero que sí, y hay que estar al pendientes de las demas publicaciones que se estarán haciendo a este blog próximamente... Los esperamos

Aaron Diaz Magaña

COMPOSICION DE FUNCIONES

Es una operacion de funciones que consiste en aplicar sucesivamente dos funciones en un orden determinado con lo cual se obtiene una tercera funcion.

(f○g)(x) f composicion con g

1) f(x)(x)= 3x2+1
g(x)=4x
OBTENER:
(f○g) (x)=f(g(x)) =f(4x)=3(4x)2+1=48x2+1

(g○f)(x)=g(f(x))= g(3x2+1)=4(3x2+1)=12x2+4

(g○g)(x)=g(g(x))=g(4x)=4(4x)=16x
(f○f)(x)=f(f(x))=f(3x2+1)=3(3x2+1)2+1=27x4+18x2+3+1=27x4+18x2+4

2) f(x)=x-3
g(x)=x2-5

(f○g) (x)=f(g(x)) =f(x2-5)=x2-5-3= x2-8

(g○f)(x)=g(f(x))= g(x-3)=(x-3)2-5=x2-6x+9-5=x2-6x+4

(g○g)(x)=g(g(x))=g(x2-5)=(x2-5)2-5=x4-10x2+25-5=x4-10x2+20
(f○f)(x)=f(f(x))=f(x-3)=x-3-3= x-6

Peréz Morales Alejandro

funcion

la funcion consta de 3 elementos
1. un conjunto a llamado dominio de la funcion
2. otro conjunto b llamado contradominio de la funcion
3. una regla de correspondencia (f) que asocia a todo elemento de a, con uno y solo un elemento de b
propiedades
1.-ningun elemento del dominio puede quedar sin ser asociado en el contradominio .
2.-ningun elemento del dominio puede tener mas de un asociado en el contradominio
esto no escluye que varios elementos del dominio tengan al mismo asociado en el contradominio

Dominio
Se le llama dominio de la relacion al conjunto de las primeras ordenadas que pertenecen A por B

Contradominio
es el conjunto de las segundas ordenadas que pertenecen a la relacion a por b

DERIVADA: REGLA DE LOS CUATRO PASOS

EJEMPLO:

f( x) = x²

y = x²

lim ∆ x - 0

• PRIMER REGLA:

Dar incrementos a "x" y "y"

• SEGUNDA REGLA:

Restar la funcio original

nota: (x + ∆x)² es un binomio al cuadrado por lo tanto se tendra que desarrollar

• TERCER REGLA:

Dividir entre ∆ x

• CUARTA REGLA:

Calcular el limite






lim ∆ x - 0


2x + ∆ x = 2x + 0 = 2 x