lunes, 15 de junio de 2009

Optimización (matemática).
La optimización (también denominada programación matemática) intenta dar respuesta a un tipo general de problemas de la forma:
Donde x = (x1,...,xn) es un vector y representa variables de decisión, f(x) es llamada función objetivo y representa o mide la calidad de las decisiones (usualmente números enteros o reales) y Ω es el conjunto de decisiones factibles o restricciones del problema.
Algunas veces es posible expresar el conjunto de restricciones Ω como solución de un sistema de igualdades o desigualdades.
Un problema de optimización trata entonces de tomar una decisión óptima para maximizar (ganancias, velocidad, eficiencia, etc.) o minimizar un critero determinado (costos, tiempo, riesgo, error, etc). Las restriciones significan que no cualquier decisión es posible.

viernes, 12 de junio de 2009



Santiago Vieyra Omar Elejandro

Ejercicio

Calcular el radio y la altura de los cilindros de volumen maximo y minimo que pueden inscribirse en un cono de 6 cm. De radio y 12 cm. De altura.

DATOS
BC = 6cm
INCÓGNITAS BE = x
AB =12cm
BD = y


1.- La función que expresa el volumen del cilindro es:

2.- la relación entre x. y y los datos ya no son facil de obtener, o no estan inmediata. pero observándola figura vemos que los triángulos ABC y ADF son semejantes y , por lo tanto:

Sustituyendo valores:

APLICANDO LOS METODOS:

IGUALANDO A CERO Y RESOLVIENDO LA ECUACIÓN SE OBTIENE:

Flores Sanchez Georgina Analí

Pèrez Espinosa Eden Roberto 4IV1

Definición de punto de inflexión:
Sea f continua en c. Un punto (c,f(c)) es un punto de inflexión si existe un intervalo abierto (a,b) que contiene a c, de tal manera que la gráfica de f es,
  • cóncava hacia arriba en (a,c) y cóncava hacia abajo en (c,b) , o
  • cóncava hacia abajo en (a,c) y cóncava hacia arriba en (c,b).

Diego Alva GonzaleZ

Crecimiento y decrecimiento.

Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente o decreciente en dicho punto:

Una función f(x) es creciente en un punto a, si su derivada es positiva? Una función f(x) es decreciente en un punto a, si su derivada es negativa.? Es decir,

Si Si

Como Þ ,es decir, la función es creciente en

En este caso Þ , es decir, la función es decreciente en x = a Estudiar la monotonía de una función es hallar los intervalos en los que es creciente y decreciente.

Se procede de la siguiente forma:

• Se halla la derivada, se iguala a cero y se resuelve la ecuación resultante • Con los puntos en los que se anula la derivada dividimos el dominio en intervalos. • Se estudia el signo de la derivada en un punto cualquiera de cada uno de los intervalos resultantes.

Ejemplo 1.

Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función

Hallamos la derivada: La igualamos a cero y resolvemos la ecuación resultante:

Þ

Dividimos el dominio R por los puntos 3 y 1 y obtenemos los intervalos

, y

Estudiamos el signo de la derivada en un punto cualquiera de cada intervalo: Para x = 0, , es decir, positiva Para x = 2, , es decir, negativa Para x = 4, , positiva

La monotonía de la función queda reflejada en la siguiente tabla: Intervalos (- ∞, 1) (1, 3) (3, +∞) Signo de la derivada + - + Función Þ à Þ

Máximos y mínimos. Son los puntos en que la función cambia de monotonía.

Si una función derivable presenta un máximo o un mínimo en un punto? , entonces

En el punto de abscisa x = c la función pasa de creciente a decreciente

Geométricamente significa que la tangente en el punto x = c es horizontal Si? y existe la segunda derivada, se verifica:

Si , hay un mínimo relativo en el punto c

Si , hay un máximo en dicho punto.

Demostración: Lo hacemos para el caso de mínimo: Si la función es creciente en c luego

Y como , , es decir, la derivada es negativa a la izquierda de c (función decreciente) y positiva a la derecha (función creciente), por tanto, existe mínimo relativo en c.

Para la determinación de máximos y mínimos podemos utilizar los siguientes criterios:

Criterio de la primera derivada:

• Se determinan los intervalos de crecimiento y decrecimiento. • Existe máximo relativo en los puntos en que la función pasa de creciente a decreciente. • Existe mínimo relativo en los puntos en que pasa de decreciente a creciente.

Criterio de la segunda derivada: • Calculamos la primera derivada, la igualamos a cero y resolvemos la ecuación resultante. • Hallamos la segunda derivada. • Las raíces de la ecuación obtenida se sustituyen en la segunda derivada. • Si el resultado obtenido es positivo existe mínimo y si es negativo máximo.

Ejemplo 2.

Halla los máximos y mínimos de la función Hallamos la primera derivada y resolvemos la ecuación :

Þ Þ

2ª derivada:

Valores de la segunda derivada en los puntos obtenidos:

Þ mínimo para x = - 1$

Þ máximo para x = 1$

Concavidad y convexidad.

Los conceptos con convexidad y concavidad son relativos. Adoptaremos el siguiente criterio: La función es convexa en un intervalo si la gráfica de la función queda encima de la recta tangente en un punto cualquiera del intervalo. La función es cóncava cuando la gráfica queda por debajo.

Puntos de inflexión son aquellos en los que la función cambia de convexa a cóncava o de cóncava a convexa.

Una función derivable es convexa en un intervalo (a, b), si? Una función derivable es cóncava en un intervalo (a, b), si?

Estudiar la curvatura de una función consiste en hallar los intervalos en los que es cóncava y convexa. Se procede de la siguiente forma: • Se halla la segunda derivada, se iguala a cero y se resuelve la ecuación resultante. • Con los puntos en los que se anula la derivada dividimos el dominio en intervalos. • Se estudia el signo de la derivada en un punto cualquiera de cada uno de los intervalos resultantes.

Ejemplo 2. Halla los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión de la función

Primera derivada: Segunda derivada:

Þ Þ

Dividiendo el dominio R por los puntos –1 y 1 se obtienen los siguientes intervalos:

Estudiamos el signo de la segunda derivada en un punto cualquiera de cada intervalo: Para x = −2 , función convexa. Para x = 0, , función cóncava Para x = 2, , función convexa

La curvatura queda reflejada en la siguiente tabla:

Intervalos (- ∞, −1) (−1, 1) (1, +∞) Signo de la 2ª derivada + - + Función È Ç È Existen puntos de inflexión para x = −1 y para x = 1

Resolución de problemas de optimización.

Son problemas en los que se trata de optimizar una función. Por ejemplo, en una producción obtener los mayores beneficios con los mínimos gastos. Con los datos del problema hay que construir una función que se ha de maximizar o minimizar dentro de las condiciones exigidas.

Ejemplo 3.

De una lámina cuadrada de lado 10 cm. se cortan cuadrados en cada uno de los vértices con el objeto de hacer una caja abierta por arriba. Calcula el lado del cuadrado que se debe cortar para que el volumen de la caja sea máximo.

Volumen de la caja =

(Función a maximizar)

;

Þ ;

(mínimo, no se forma caja)

(máximo). La solución es

Ejemplo 4

Un pastor dispone de 1000 metros de tela metálica para construir un cerco rectangular aprovechando una pared ya existente. Halla las dimensiones del cerco a fin de el área encerrada sea máxima.

x = 1000 – 2yÞPerímetro = x + 2y = 1000 Área = x . y, es decir,

(Función a maximizar )

;

Þ y = 250

Como la segunda derivada es negativa se trata de un máximo.

CONCAVIDADES

Criterio de la Segunda Derivada
1) Si d2y/dx2 es positiva, la gráfica es cóncava hacia arriba U

La gráfica de una función diferenciable y= f(x) es cóncava hacia arriba en el intervalo (a,b) cuando la primera derivada es una función creciente de x en x= c

Cuando una curva es cóncava hacia arriba, se puede observar que la primera derivada de la función o la pendiente de la tangente a la curva aumenta de izquierda a derecha.

Definición

Una curva es cóncava hacia arriba si y' es una función creciente en el intervalo (a,b) por lo tanto la segunda derivada es positiva.

2) Si d2y/dx2 es negativa, la gráfica es cóncava hacia abajo

La gráfica de una función diferenciable y = f(x) es cóncava hacia abajo en el intervalo (a,b) cuando la primera deriva es una función decreciente de x en x = c.

Cuando una curva es cóncava hacia abajo, las tangentes a la curva están por arriba de ellas y la curva dirige su concavidad hacia la parte degativa del eje Y y la derivada decrece y , por lo tanto, la segunda derivada es negativa.

Criterios de la Segunda Derivada Para Las COncavidades

La gráfica de y= f(x) es:

1) Cóncava hacia arriba en todo intervalo en que y''> 0
2) Cóncava hacia abajo en todo intervalo en que y''< 0

Teorema de Rolle

Si una función f es continua en el intervalo cerrado [a,b], direfenciable en el intervalo abierto (a,b) y sean f(a)= 0 y f(b)= 0, entonces existe al menos un punto c en el intervalo (a,b) tal que f'(c)= 0.

El Matemático fránces Michel Rolle (1652-1719) demostró que si una función f satisface las siguientes condiciones:

1) es continua el intervalo cerra [a,b]
2) es diferenciable en el intervalo abierto (a,b)
3) f(a) = f(b) = 0

Entonces existe un número c en el intervalo abierto (a,b) tal que f'(c) = 0
Una representación geométrica de este teorema se da a continuación.

Las curvas muestran la gráfica de una fucnión f que satisfacen las condiciones del teorema de Rolle. Observamos que hay al menos un punto sobre las curvas entre los puntos (a,0) y (b,0) donde la recta tangente es paralela al eje x, esto es, la pendiente de la recta tangente es cero (pendiente nula), tal que f'(c) = 0.

Si la pendiente es nula, entonces la primera derivada de la función f'(c) en ese punto es cero, ya que la pendiente y la primera derivada de la función en ese punto son iguales.

FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES

Sabemos que la pendiente de una recta es igual a la tangente de su ángulo de inclinación:

m = tan ángulo

La primera derivada de una función y' en un punto es igual a la pendiente de la recta tangente a la curva f(x) en ese punto.

y' = mt

Si o es un ángulo agudo (<90°),>0.

Si o es un ángulo agudo (>90°), la pendiente, y por lo tanto y' será negativa, esto es <0.

f(x) es creciente en x = a, si f'(a) >0
f(x) es decreciente en x = b, si f'(b)>0


Como la derivada de una función creciente es positiva y la derivada de una función decreciente es negativa, se sigue que la derivada de la función debe cambiar de signoen un valor máximo o en un mínimo y, por tanto, debe hacerse cero o infinita.

FUNCIONES INVERSAS

Una función es una regla de correspondencia que asigna un número de su imagen (contradominio) a cada número de su dominio. Algunas funciones como:



y= 2x , y= sen x



Puede tener la misma salida para diferentes entradas. Pero otras, como:



y= 4x-4



siempre dan diferentes salidas para diferentes entradas. Las funciones que siempre dan diferentes salidas para diferentes entradas se llaman funciones inyectivas o funciones uno a uno.



Como a cada salida de una función inyectiva viene de una sola entrada, cualquier función inyectiva puede invertirse y devolver cada salida a la entrada de la que procede.



x -> f -> y -> f inversa -> x

La inversa de una función f devuelve cada salida de f a la entrada de la que proviene.

La función definida al invertir una función inyectiva f se llama inversa de f. El símbolo para la inversa de f es f-1 y se lee "f inversa". EL símbolo -1 no es exponente; f-1(x) no significa 1/f(x).

El dominio y el contradominio de la función original se convierten, respectivamente, en el contradominio y el dominio de la función inversa.

Hallar la inversa de la función y= 1/4x + 3

Solución.- En la ecuación dada despejamos x en términos de y:

4y= x + 12
x= 4y - 12

A continuación, intercambiamos x e y en la fórmula x= 4y - 12, y obtenemos:

y= 4x - 12

La inversa de y= 1/4x + 3 es y= 4x-12

jueves, 11 de junio de 2009

Encontrar las dimensiones del mayor rectángulo que puede ser inscrito en un círculo cuyo radio es de 6cm

A= bxh 36= x2+y2………..2
A= (2x)(2y)
A=4xy……………1
A=2(3/ 2 )([2(3/ 2 ) y2= 36-x2
A=36x2
A= 72 y= / 36-x2


A= 4x ( / 36-x2)



U V
A´= 4x d (36-x2) ½ +(36-x2) ½ 4
dx

A´= 4x ( ½ (36-x2)- 1/2 -2x+4 / 36 – x2

A´= -4x2 + 4 / 36- x2 = -4 x2 +4 (36-x2)= -4x2+144-4x2 = -8x2 + 144

/36-x2 1 / 36-x2 / 36 – x2 / 36 – x2

-8x2 + 144= 0
-8x2 = -144
x2= -144= 18

-8
X = +
- / 18 = / 9.2 X = 3 / 2


Para encontrar Y

x= 3 / 36-(3/ 2 ) 2

y= / 36 – 9(2)

y= / 18 = 3 / 2

Betzabe
2DO PARCIAL
DERIVADAS SUCESIVAS O DE ORDEN SUPERIOR
En geometría, la derivada de una función en un punto representa el valor de la pendiente de la recta tangente en dicho punto. La pendiente está dada por la tangente del ángulo que forma la recta tangente a la curva (función) con el eje de las abscisas, en ese punto.
En general las derivadas de orden superior son el proceso de derivar una función n veces, donde n es igual a 2, 3, 4, 5,.......

Y en estas derivadas se utilizan los sig. símbolos :
Si Primera derivada:
Segunda derivada:
Tercera derivada:
Cuarta derivada:
Quinta derivada:

n-ésima derivada:
Por ejemplo:

1.
2.
3.
4.
5.




3ER PARCIAL
Ejemplo de funciones Crecientes y Decrecientes
f(x) =
1. Sacar la primer derivada
2. Igualar a cero la primer derivada

DIVIDIENDO / 3

3. Sacar las raíces o valores críticos

Por factorización:
(x-6) (x+2)= 0

x-6 = 0
x+2 =0

RAÍCES O VALORES CRÍTICOS
-3
5
7
4. Sustituir los valores críticos en la ecuación de la 1er. Derivada

= 27 + 36 – 36
= + 27

= - 21

= + 27


(-∞,-3) CRECIENTE
(-2,6) DECRECIENTE
(7,∞-) CRECIENTE
Ruiz Sanchez Jesica Berenice

miércoles, 10 de junio de 2009

La derivada como razón de cambio

Los fenomenos que ocurren en la naturaleza estan relacionados entre si; por ejemplo la aceleracion con que se desplaza un movil depende de la magnitud de la fuerza que se le aplica; la distancia que recorre dicho movil depende del tiempo.
Lo que generalmente interesa es la rapidez con que cambia el valor de la variable dependiente de una funcion cuando el valor de la variable independientemente cambia. En concreto lo que nos interesa es el cambio instantaneo.
La variable de una razon es presisamente la razon de cambio instantanea de una funcion o simplemente su razon de cambio.

ejemplo:
La poblacion de cierta ciudad, en miles de habitantes dentro de t años, se calcula por la expresion:
8
P (t)= 40- ------
t+2
calcula la rapidez con la que estara creciendo la poblacion durante 2 años

SOLUCION:
La rapidez con la que crece la poblacion en t años es la razon de cambio instantaneo de P(t) con respecto a t; por consiguiente, debemos calcular primero P´(t) y luego debemos evaluarla t=2
8
P(t)=40- ----- miles
t+2

rescribamos la funcion anterior de manera que P(t) se pueda derivar mediante la regla de la cadena
-1
P´(t)=40-8(t+2)
-2
P´(t)= 8 (t+2)

8
P´(t)=----------
2
(t+2)
Por lo tanto la rapidez con que crece la poblacion dentro de 2 años es P´(2)
8
P´(2)= -----
2
(2+2)

8
P´(2)=-----= .5 miles por año
16

Dentro de 2 años. la poblacion de esta ciudad crecera a razon de 500 habitantes por año.

**NaMi-ShInKu** (Rodriguez Acuautla Stephanie)

Derivada de un cociente

Sea

Y= u / v (≠ 0)
Según la regla general:

Primer paso

Y+Ùy=u+Ùu / v+Ùv

Segundo paso

Ùy= u+Ùu / v+Ùv – u / v = v Ùu - u Ùv/ v (v+Ùv)

Tercer paso

Ùy / Ùx= (v Ùu/Ùx - uÙv/Ùx) / (v (v+Ù))

Cuarto paso

Dy/dx= (v du/dx - udv/dx) / (vª2)

Por lo tanto d/dx (u/v)= (v du/dx - udv/dx) / (vª2)

La derivada de un cociente de funciones es igual al producto del denominador por la derivada del numerador, menos el producto del numerador por la derivada del denominador, todo dividido por el cuadrado del denominador.

Cuando el denominador es constante, basta poner v=c en VII esto da:

VII a d/dx (u/c)=du/dx/c

Puesto que dv/dx=dc/dx=0

Podemos tambien obtener VII a de IV como sigue:


d/dx (u/c)=1/c du/dx=du/dx/c

La derivada del cociente de una función dividida por una constante en igual a la derivada de la función dividida por la constante.

Para máximos y mínimos: la solución del los problemas ya que no hay un regla aplicable pero podemos guiarnos con esto…

a) determinar la función cuyo máximo y mínimo se desea obtener
b) si la expresión resultante contiene más de una variable, las condiciones del problema proporcionaran suficientes relaciones entre las variables para que la función pueda expresarse en términos de una sola variable.
c) A la función resultante se le aplica la regla para cálculo de máximos y mínimos.
d) En los problemas prácticos, muchas veces se ve con facilidad cual de los valores críticos dará un máximo o un mínimo por lo cual no siempre es necesario aplicar el tercer paso.
e) Conviene construir la grafica de la función para comprobar el resultado obtenido

El cálculo de máximos y mínimos a menudo puede simplificarse con la ayuda de los siguientes principios. Que se deducen de lo anteriormente expuesto.

a) los máximos y mínimos de una función continua se presenta alternativamente.
b) cuando c es una constante positiva, c f (x) es un máximo o un mínimo para los valores de x que hacen a f(x) máxima o mínima, y no para otros.

Por lo tanto, al determinar los valores críticos de X y al aplicar la regla de máximos o mínimos, pueden omitirse los valores constantes.

Cuando c es negativa, cf(x) es un máximo cuando f(x) en mínima, y recíprocamente.

c) si c es una constante, f(x) y c+f(x) tienen valores máximos y mínimos para los mismos valores de x.

por lo tanto, al hallar valores críticos de x y al aplicar la regla pueden omitirse los términos constantes.

Saenz Esquivel Jessica Nayeli



martes, 9 de junio de 2009

Derivación Implícita

Funciones explícitas y funciones implícitas

En los cursos de cálculo la mayor parte de las funciones con que trabajamos están expresadas en forma explícita, como en la ecuación dónde la variable y está escrita explícitamente como función de x. Sin embargo, muchas funciones, por el contrario, están implícitas en una ecuación. La función y = 1 / x, viene definida implícitamente por la ecuación: x y = 1.

Si queremos hallar la derivada para esta última ecuación, lo hacemos despejando y, así, y = 1 / x = x -1, obteniendo su derivada fácilmente:


Ruíz Angeles Ilse G.

Máximo relativo.

Se dice que un punto P(x0, y0) es un máximo relativo. Un máximo relativo se produce cuando un función deja de crecer y empieza a decrecer; es decir cuando la derivada cambia de signo positivo a negativo.

Mínimo relativo.

Un mínimo relativo se produce cuando una función deja de decrecer y empieza a crecer; es decir, se produce cuando la derivada cambia de signo negativo a positivo.

Puntos de inflexión.

Son los puntos donde cambia el sentido de la concavidad de una curva.

Concavidad de una grafica.

Si una función es derivable en un intervalo (a, b), se dice que la grafica de y= f(x) es cóncava hacia arriba en dicho intervalo si f’ (x) es creciente en el mismo. Si a su vez f’ (x) es derivable también en dicho intervalo, o sea, si existe f”(x) en él, tiene que ser f”(x)> o, pues como a f’(x) lo suponemos creciente, su derivada, o sea f”(x), debe ser positiva.


Romo Gálvez María Elena

**EJERCICIOS**

Bueno despues de la teoria viene la practica; así que aqui les dejo unos ejercicios para que se entretengan en vez de andar jugando play o chateando o haciendo otra cosa mas divertida que esto (...espera un momento...no cambiaria mi play por ejercicios...O.o...ehem...) bien pues les dejo aqui unos, nos veremos hasta la siguiente vez que me acuerden en subir algo de esta materia XD...bye!

1.-Supongamos que la cantidad de agua en litros que fluye por una llave t minutos despues de haber sido abierta se calcula con la expresion: 1/2
Q(t)= 12(2t-5) con que rapidez sale el agua despues de 7 minutos
2.-La funcion de posicion de una flecha que se lanza verticalmente hacia arriba es 2
S(t)= 20+63.7t-4.9t

donde S se mide en metros y t se mide en segundos.
Encuentra la velocidad en 2 segundos y la aceleracion a los 8 segundos

**NaMi~ShInKu** (Rodriguez Acuautla Stephanie)
Regla de la cadena.

Sea Y una función derivable respecto a U y ésta derivable respecto a X, entonces Y es derivable respecto a X y se cumple que Y’(X)=f’ (u) u’(X). Esta regla de derivación se llama regla de la cadena.

Aplicaciones de la derivada.

Ecuación de la recta tangente.

Sea una grafica cuya ecuación es Y=f (x). Consideraremos en esta grafica un punto P(x, y) y escribiremos la ecuación de la recta tangente a la grafica en el punto mencionado, suponiendo que esta tangente no es paralela al eje Y.

La ecuación de la recta, de pendiente m, que pasa por el punto P(x1, y1), es de la forma y-y1=m(x-x1).

La derivada de una función es otra función que expresa la pendiente de la recta tangente a su grafica por un punto de ésta. Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente será:

Y-y1=f ‘(x1) (x-x1)


Ecuación de la recta normal.

Se denomina recta normal a la gráfica de una función en un punto dado a la recta que, pasando por éste, es perpendicular a la recta tangente trazada por el mismo punto.

Dado que la recta tangente y la normal a la grafica de una función en un punto (x1, y1) son perpendiculares entre sí, entonces:

mnmt = -1 luego mn = -1/mt

Crecimiento y decrecimiento de una función.

La pendiente de la recta a la grafica de una función nos indica la dirección da la curva en cualquiera de sus puntos.

Si dada una función f (x) se tiene f(x) >0 para cada valor de X en cierto intervalo, esto significa que la inclinación de la recta tangente a la grafica de f(x) en dicho intervalo asciende de izquierda a derecha, por lo que el valor de f(x) aumenta y decimos que la función es creciente.

Si f’(x) < y=" f(x)"> o, pues como a f’(x) lo suponemos creciente, su derivada, o sea f”(x), debe ser positiva.


Romo Gálvez María Elena

MÁXIMOS Y MÍNIMOS ABSOLUTOS

Una función que es continua en un intervalo cerrado (x,y) alcanza un máximo absoluto y un mínimo absoluto en puntos de dicho intervalo.

Para obtener o determinar los máximos o mínomos absolutos te recomendamos seguir los pasos que se mencionan a continuación:

1. Derivas f(x)
2. Encontrar los números críticos y evalua en ellos f(x)
3. Evaluar x , y
4. El mayor de los valores de f(x) que se obtiene en los pasos 2 y 3 es el máximo absoluto y el menor es el mínimo absoluto.

Una de las aplicaciones más importantes del cálculo consiste en resolver problemas prácticos de optimización.

Samano Samano Laura

Ecuación de la recta tangente

Ecuación de la recta tangente

La recta tangente a una curva en un punto (x) es aquella que pasa por el punto
(X, Y)) y cuya pendiente es igual a f '.

MÁXIMOS Y MINIMOS
Máximos
Si f y f' son derivables en X, X es un máximo relativo si se cumple.
Cuando pasa de signo positivo a signo negativo tendremos un máximo.
Mínimos
Si f y f' son derivables en x, x es un mínimo relativo si se cumple:.
Cuando pasa de signo negativo a signo positivo tendremos un mínimo.

Pasos para calcularlos:

1. Hallamos la primera derivada y calculamos sus raíces para determinar los valores críticos.
2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella.
3. factorizamos los valores críticos x1 y x2 y se sustituyen en la segunda derivada
4. determinas si hay máximos y mínimos

Optimización o (maximización y minimización)

En la resolución de problemas de optimización de funciones seguiremos los siguientes pasos:

1. Plantear la función que hay que maximizar o minimizar.
2. Plantear una ecuación que relacione las distintas variables del problema, en el caso de que haya más de una variable.
3.Despejar una variable de la ecuación y sustituirla en la función de modo que nos quede una sola variable.
4. Derivar la función e igualarla a cero, para hallar los extremos locales.
5. Realizar la 2ª derivada para comprobar el resultado obtenido.

un agricultor desea cercar un terreno rectangular, uno de sus lados coincide con la riviera de un rio. Si cuenta con 800 m de cerca de alambre, cual es el area máxima que se puede cercar.


800-2x A= (800-2x) x= 800x –2x
Amax=800(200)-2(200)=80,000m
800x-x°
y’=800-4x
800-4x=0
x=-800 =200
-4x
y’’=-4 máximo x=200 v.c

García García Yazmín A.

lunes, 8 de junio de 2009

Máximos y mínimos (1ra derivada)



Sea f(x) una función diferenciable en (a,b) y c un valor crítico tal que a

Ejemplo: Gráfica de f(x) = x3 - 3x2 - 9x + 2
Esta función es continua en todo su dominio. Vamos a analizar su gráfica y el comportamiento de su derivada en el intervalo -5


f(x)= x3 - 3x2 - 9x2 + 2
f'(x)= 3(x - 3)(x + 1)
Números críticos: {-1.0, 3.0}
f(-1.0)= 7.0
f(3.0)= -25.0









Como verás los extremos relativos de f(x) son f(-1) y f(3). En la siguiente animación observa el comportamiento de las rectas tangentes a la gráfica de f(x) al pasar por los puntos extremos relativos.

Observa que en los intervalos en los que la función crece, la pendiente de la recta tangente tiene signo positivo, y cuando la función es decreciente, el signo de la pendiente es negativo.
Como ya te habrás dado cuenta las pendientes cambian de signo en los valores críticos.
Para verificar esto a continuación se muestra una tabla de valores de las pendientes de las rectas tangentes a la gráfica de f(x) para -5


TEOREMA

Criterio de la primera derivada para extremos relativos.Sea f(x) continua en [a,b] y diferenciable en (a,b), excepto posiblemente en el valor crítico c.
Si f '(x)>0 para aSi f '(x)<0>0 para c

Derivada de Funciones Trigonométricas (2do parcial)

La derivación de las funciones trigonométricas es el proceso matemático de encontrar el ritmo al cual una función trigonométrica cambia respecto de la variable independiente; es decir, la derivada de la función. Las funciones trigonométricas más habituales son las funciones sin(x), cos(x) y tan(x). Por ejemplo, al derivar f(x) = sin(x), se está calculando la función f'(x) tal que da el ritmo de cambio del sin(x) en cada punto x.

PUNTOS DE INFLEXIÓN

Mendoza Albor Jesús Michel

Puntos de Inflexión

Un punto de inflexión es un punto donde los valores de x de una función continua pasa de un tipo de concavidad a otro. La curva "atraviesa" la tangente. Matemáticamente la derivada segunda de la función f en el punto de inflexión es cero, o no existe.
En el cálculo de varias variables a estos puntos de inflexión se les conoce como puntos de ensilladura.


Cálculo de los puntos de inflexión en funciones reales derivables de variable real

En las funciones derivables reales de una variable real, para hallar estos puntos de inflexión, basta con igualar la segunda derivada de la función a cero y despejar. Los puntos obtenidos deberán ser sustituidos en la derivada tercera o sucesivas hasta que nos dé un valor diferente de cero. Cuando esto suceda, si la derivada para la que es distinto de cero es impar, se trata de un punto de inflexión; pero, si se trata de derivada par, no lo es. Más concretamente:

Se halla la primera derivada de


Se halla la segunda derivada de



Se halla la tercera derivada de




Se iguala la segunda derivada a 0:


Se despeja la variable independiente y se obtienen todos los valores posibles de la misma:


Se halla la imagen de cada Xi sustituyendo la variable dependiente en la función.

Ahora, en la tercera derivada, se sustituye cada Xi

Si ,



se tiene un punto de inflexión en .


Si ,


debemos sustituir Xi en las sucesivas derivadas hasta sea distinto de cero. Cuando se halle la derivada para la Xi que no sea nulo, hay que ver qué derivada es:

Si la derivada es impar, se trata de un punto de inflexión.

Si la derivada es par, no se trata de un punto de inflexión.

RECTAS NORMALES

Mendoza Albor Jesús Michel
Pendiente de la Recta Normal



La pendiente de la recta normal a una curva en un punto es la opuesta de la inversa de la pendiente de la recta tangente, por ser rectas perpendiculares entre sí.









Es decir, es la opuesta de la inversa de la derivada de la función en dicho punto.





Recta normal a una curva en un punto
La recta normal a a una curva en un punto a es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a la inversa de la opuesta de f '(a).



Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la parábola y = x2 + x + 1 paralela a la bisectriz del primer cuadrante.
Sea el punto de tangencia (a, b)

m = 1

f'(a) = 2a + 12a + 1 = 1 a = 0

Punto de tangencia:(0, 1)

Recta tangente:

y − 1 = x y = x +1

Recta normal:
m= 1 P(0, 1)
y − 1 = −x y = −x + 1

domingo, 7 de junio de 2009

APLICACIONES DE LA DERIVADA

Tema: Funciones crecientes y decrecientes
Observa la siguiente gráfica y señala en qué intervalos ella crece y decrece.


Cuando se tiene la gráfica de una función continua resulta bastante fácil señalar en qué intervalo la función es creciente, decreciente o constante. Sin embargo, no resulta fácil decir en que intervalo la función es creciente, decreciente o constante sin la gráfica de la función.
El uso de la derivada de una función puede ayudar a determinar si una función es creciente, decreciente o constante en un intervalo dado. Para esto, se necesita el teorema y la definición a continuación para mostrar varios ejemplos.

Teorema: Sea f una función derivable en el intervalo (a,b). Luego,
i) Si f’(x)>0 para todo x en el intervalo abierto (a,b), f es creciente en (a,b).
ii) Si f’(x)<0 para todo x en el intervalo abierto (a,b), f es decreciente en (a,b). iii) Si f’(x) = 0 para todo x en el intervalo abierto (a,b), f es constante en (a,b). Definición: Si un número c está en el dominio de una función f, c se conoce como un número crítico (valor crítico) de f si f’(c) = 0 ó f’(c) no existe.
A continuación una guía para construir la gráfica de una función usando la derivada:
1) Halla f’(x) (la derivada de f).
2) Halla los números críticos, igualando f’(x) a cero y resolviendo para x. Incluir también todos los valores de x donde la derivada no existe (es decir, no está definida).
3) Evalua cada número crítico c en la función f para obtener los puntos críticos.
4) Localiza los puntos hallados en el paso anterior (3) en el plano cartesiano.
5) Determina en qué intervalo la función es creciente, decreciente o constante, usando el signo de la derivada. (Es decir, usa el teorema).
6) Dibuja la gráfica, de manera que sea creciente en el intervalo donde la derivada es positiva, decreciente en el intervalo donde la derivada es negativa y horizontal en el intervalo donde la derivada es igual a cero.

1) Una función puede alcanzar un máximo y mínimo absoluto más de una vez. A continuación una guía para hallar los valores extremos de una función continua en el intervalor [a,b]: 1) Halla los números críticos de f, igualando f’(x) a cero.
2) Evalua cada c en la función para obtener los puntos críticos.
3) Halla f(a) y f(b).
4) Determina los valores máximos y mínimos de en [a,b] observando los valores mayores y menores de la función f en los pasos 2 y 3.

Perez Morales Alejandro

relacion entre la rapidez de variacion de variables

en muchos problemas entran variables que son funciones del tiempo. si las condiciones del problema permiten establecer relaciones entre las variables, entonces, mediante la derivacion, es posible hallar una relacion entre la rapidez de variacion de las variables.
puede usrase la siguiente regla
primer paso: construir una figura que sea una interpretacion
segundo paso: obtener una relacion entre las variables
tercer paso: derivar con respecto al tiempo
cuarto paso: hacer una lista de las cantidades dadas y de las buscadas
quinto paso: sustituir el resultado de la derivacion

FUNCIONES IMPLICITAS Y DERIVACION IMPLICITA

FUNCIONES IMPLICITAS.
cuando se da una relacion entre x y y por medio de una ecuacion no resuelta para y, entonces y se llama funcion implicita de x. por ejemplo x-4y=0
es claro que por medio de esta ecuacion x se define como funcion implicita de y. a veces es posible resolver la ecuacion que define una funcion implicita con respecto a una de las variables, obteniendo asi una funcion explicita.

DERIVACION IMPLICITA.
cuando y se define como funcion implicita de x puede no ser conveniente el resolver la ecuacion para obtener y como funcion explicita de x, o x como funcion explicita de y.