lunes, 8 de junio de 2009

Máximos y mínimos (1ra derivada)



Sea f(x) una función diferenciable en (a,b) y c un valor crítico tal que a

Ejemplo: Gráfica de f(x) = x3 - 3x2 - 9x + 2
Esta función es continua en todo su dominio. Vamos a analizar su gráfica y el comportamiento de su derivada en el intervalo -5


f(x)= x3 - 3x2 - 9x2 + 2
f'(x)= 3(x - 3)(x + 1)
Números críticos: {-1.0, 3.0}
f(-1.0)= 7.0
f(3.0)= -25.0









Como verás los extremos relativos de f(x) son f(-1) y f(3). En la siguiente animación observa el comportamiento de las rectas tangentes a la gráfica de f(x) al pasar por los puntos extremos relativos.

Observa que en los intervalos en los que la función crece, la pendiente de la recta tangente tiene signo positivo, y cuando la función es decreciente, el signo de la pendiente es negativo.
Como ya te habrás dado cuenta las pendientes cambian de signo en los valores críticos.
Para verificar esto a continuación se muestra una tabla de valores de las pendientes de las rectas tangentes a la gráfica de f(x) para -5


TEOREMA

Criterio de la primera derivada para extremos relativos.Sea f(x) continua en [a,b] y diferenciable en (a,b), excepto posiblemente en el valor crítico c.
Si f '(x)>0 para aSi f '(x)<0>0 para c

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