domingo, 7 de junio de 2009

APLICACIONES DE LA DERIVADA

Tema: Funciones crecientes y decrecientes
Observa la siguiente gráfica y señala en qué intervalos ella crece y decrece.


Cuando se tiene la gráfica de una función continua resulta bastante fácil señalar en qué intervalo la función es creciente, decreciente o constante. Sin embargo, no resulta fácil decir en que intervalo la función es creciente, decreciente o constante sin la gráfica de la función.
El uso de la derivada de una función puede ayudar a determinar si una función es creciente, decreciente o constante en un intervalo dado. Para esto, se necesita el teorema y la definición a continuación para mostrar varios ejemplos.

Teorema: Sea f una función derivable en el intervalo (a,b). Luego,
i) Si f’(x)>0 para todo x en el intervalo abierto (a,b), f es creciente en (a,b).
ii) Si f’(x)<0 para todo x en el intervalo abierto (a,b), f es decreciente en (a,b). iii) Si f’(x) = 0 para todo x en el intervalo abierto (a,b), f es constante en (a,b). Definición: Si un número c está en el dominio de una función f, c se conoce como un número crítico (valor crítico) de f si f’(c) = 0 ó f’(c) no existe.
A continuación una guía para construir la gráfica de una función usando la derivada:
1) Halla f’(x) (la derivada de f).
2) Halla los números críticos, igualando f’(x) a cero y resolviendo para x. Incluir también todos los valores de x donde la derivada no existe (es decir, no está definida).
3) Evalua cada número crítico c en la función f para obtener los puntos críticos.
4) Localiza los puntos hallados en el paso anterior (3) en el plano cartesiano.
5) Determina en qué intervalo la función es creciente, decreciente o constante, usando el signo de la derivada. (Es decir, usa el teorema).
6) Dibuja la gráfica, de manera que sea creciente en el intervalo donde la derivada es positiva, decreciente en el intervalo donde la derivada es negativa y horizontal en el intervalo donde la derivada es igual a cero.

1) Una función puede alcanzar un máximo y mínimo absoluto más de una vez. A continuación una guía para hallar los valores extremos de una función continua en el intervalor [a,b]: 1) Halla los números críticos de f, igualando f’(x) a cero.
2) Evalua cada c en la función para obtener los puntos críticos.
3) Halla f(a) y f(b).
4) Determina los valores máximos y mínimos de en [a,b] observando los valores mayores y menores de la función f en los pasos 2 y 3.

Perez Morales Alejandro

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